第一条：0为自然数；

这就像“上帝说：要有光，就有了光”一样自然。 并定义了一个存在。

第2条：如果n是自然数，则n++也是自然数；

这篇文章似乎定义了生成自然数的规则。 ++也可以称为后继，通过不断产生后继数来不断生成整个自然数。 所以我们有 0, 0++, (0++)++, ((0++)++)++, ...，如果 1 定义为 0++，2 定义为 (0++ )++, 3 被定义为 ((0++)++)++, 那么我们有 0, 1, 2, 3, ...

在第二篇文章中，我们很容易被自己的先验知识所误导，即我们试图引入加法的概念，并认为n++是对n进行+1处理。 这里的++只是一个符号，只代表后面的概念。 正如《数学女孩》中提到的，如果你想理解皮亚诺公理，你必须学会??假装你不知道某件事。

第三条：0不是任何自然数的后继，即对于每个自然数n，都有n++ \neq 0；

为什么这个公理存在？ 它是为了防止出现诸如 0, 1, 2, 3, 0, ... 或 1, 0, 2, 3, ... 的情况。 也就是说，它防止了0的重复出现，强调0是自然数的起点。

第四条：不同的自然数必须有不同的后继； 也就是说，如果 n、m 是自然数且 n \neq m自然数的概念，则 n++ \neq m++。 等价地，如果n++ = m++，则必定有n = m；

这篇文章是我困惑的开始，因为我觉得它的描述不符合我的第一直觉。 它要解决的问题似乎是消除0,1,2,3,4,5,2,...的形状。就会出现这样的情况。 1和5是不同的自然数，但有相同的后继2。我最初的想法是，如果我要定义它，更直观的描述会是“任何两个自然数不相等”。 或“任何自然数的后继数都没有出现在该数之前。” 为此我特地提出了一个问题。

结合朋友们的回答和我自己的验证，我终于觉得没那么矛盾了。 我想这大概要从数理逻辑的发展史说起……首先我们要知道皮亚诺定理的前身是戴德金出版的《数是什么以及它们应该是什么》中对自然数的定义1888年。 戴德金基于集合论构造了自然数。 他很自然地使用了映射的概念，并通过映射定义了链的概念：

如果映射 \ 将集合 K 映射到 K 的内部，即如果 n \in K \ \(n) \in K ，则 K 称为相对于 \ 的链。

后来戴德金在第三个定义中直接说道：

这个映射\是一对一的映射

这里我不会详细介绍戴德金德的完整定义。 简单来说，这个\映射对应着我们前面提到的“后继者”，自然数序列就看成是一条由\映射串起来的“链条”。 我们可以很容易地使用一对一映射的概念，发现这个简洁的定义实际上对应了第四条皮亚诺公理。

突然间，这个公理似乎很直观。

然后考虑一下我给自己的两个描述有什么问题：

任何两个自然数都不相等。 任何自然数的后继数从未出现在该数之前。

对于1，考虑到集合本身是互斥的，因为提到“二”实际上代表两个不同的元素。 这是无稽之谈。 公理中提到的等式应该是指链中环的生成。

对于2，“”的概念需要在偏序关系之后生成，所以我们不能在定义偏序之前使用这个概念。

因此自然数的概念，我们可以看到，一条公理中隐含的每一个新概念都必须给出一个符合该公理的定义，所以我们必须尽量隐含尽可能少的新概念。 这是创建公理的关键点之一。

第 5 条：设 P(n) 是自然数的性质。 假设 P(0) 为真，并假设只要 P(n) 为真，则 P(n++) 也为真。 那么对于每个自然数 n，P(n) 都为真。

有几种方法可以描述这一点。 参考特伦苏涛的解释。 这是为了从后续规则中消除未混入的冗余数字。 根据戴德金的定义：

N 是相对于 \ 且包含起始元素 a 的所有链的交集。

这证明自然数链具有“极小性”和“唯一性”

参考《数学基础》——王芳婷