2023年数学一级考试大纲

考试科目：高等数学、线性代数、概率论、数理统计

考试形式和试卷结构

一、满分及考试时间

试卷满分150分，考试时间180分钟。

2、答题方法

作答方式为闭卷、笔试。

三、试卷内容结构

约56%的高等教育

线性代数约22%

概率论与数理统计约22%

4、试卷的题型结构

选择题共8道，每题4分，共32分。

填空题有6道，每题4分，共24分。

答题（含证明题）9题，共94分

高等数学

1.函数、极限、连续性

考试内容

函数的概念和表示，函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，复合函数、反函数、分段函数和隐函数的性质，基本初等函数的性质以及图解初等函数关系的建立功能。

序列极限和函数极限的定义及其性质。 函数的左极限和右极限。 无穷小和无穷小量的概念及其关系。 无穷小量的性质及无穷小量比较极限的四种算术运算。 极限存在的两个标准：单调有界。 两个重要的限制：标准和挤压标准：

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函数连续性的概念、函数??不连续点的类型、初等函数的连续性、闭区间连续函数的性质

考试要求

1.理解函数的概念，掌握函数的表示，建立应用问题中的函数关系。

2. 理解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。

3.理解复合函数和分段函数的概念，理解反函数和隐函数的概念。

4.掌握基本初等函数的性质和图形，理解初等函数的概念。

5、理解极限的概念方阵的行列式，理解函数的左极限、右极限的概念，以及函数极限的存在性与左极限、右极限的关系。

6． 掌握极限的性质和四种算术规则。

7、掌握极限存在的两个准则，并能够利用它们来求极限。 掌握利用两个重要极限求极限的方法。

8、理解无穷小量和无限量的概念，掌握无穷小量的比较方法，能够用等价无穷小量求极限。

9. 理解函数连续性（包括左连续性和右连续性）的概念，并能识别函数不连续性的类型。

10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大最小定理、中间值定理），并能够应用这些性质。

2.一变量函数的微分计算

考试内容

导数和微分的概念 导数的几何和物理意义 函数的可导性和连续性的关系 平面曲线的切线和法线 导数和微分的四种算术运算 基本初等函数的导数 复合函数、反函数和隐函数以及参数方程确定的函数的微分方法、一阶微分形式的高阶导数、微分中值定理的不变性、L')规则、函数的单调性、函数的极值、函数图形的凹凸、拐点和渐近线函数图形的描绘函数的最大值和最小值弧微分曲率的概念曲率圆和半径曲率

考试要求

1.理解导数和微分的概念，理解导数和微分之间的关??系，理解导数的几何意义，能够求平面曲线的正切方程和正规方程，理解导数的物理意义，能够运用导数来描述一些物理量，并理解函数的可微性和连续性之间的关系。

2、掌握导数的四种运算规则和复合函数的求导规则，掌握基本初等函数的导数公式。 理解微分的四种算术规则和一阶微分形式的不变性，并能求函数的微分。

3. 理解高阶导数的概念，能够求简单函数的高阶导数。

4. 能够求分段函数的导数、隐函数、参数方程确定的函数、反函数的导数。

5.理解并能够使用罗尔定理、拉格朗日()均值定理和泰勒()定理，理解并能够使用柯西()均值定理。

6． 掌握利用洛必达法则求未定公式极限的方法。

7.理解函数极值的概念，掌握利用导数判断函数单调性和求函数极值的方法，掌握求函数最大值和最小值的方法功能及其应用。

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9.理解曲率、曲率圆、曲率半径的概念，并能计算曲率、曲率半径。

3. 单变量函数积分

考试内容

原函数和不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积分公式 定积分的概念和基本性质 定积分的均值定理 函数及其导数 不定积分和定积分的牛顿-莱布尼茨 (-) 公式 积分的方法代入法和分部积分法、有理函数积分的应用、三角函数和简单无理函数的有理表达式、反常（广义）积分和定积分

考试要求

1.理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念。

2.掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质以及定积分的中值定理，掌握代入积分法和分部积分法。

3. 能够求有理函数的积分、三角函数的有理表达式和简单的无理函数。

4.了解积分上限的函数，能够求其导数，掌握牛顿-莱布尼兹公式。

5.了解反常积分的概念，能够计算反常积分。

6． 掌握用定积分表达和计算一些几何物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积和边面积、物体的面积）已知三维体积、功、重力、压力、质心、质心等的平行截面）和函数的平均值。

4.向量代数和空间解析几何

考试内容

向量的概念 向量的线性运算 向量的定量积和向量积 向量的混合乘积 两个向量垂直和平行的条件 两个向量之间的角度 向量及其运算单位向量的坐标表达式 方向数和方向 余弦面方程和空间曲线方程、平面方程、直线方程、平面与平面之间的角度、平面与直线、直线与直线的概念，以及平行和垂直条件、点到平面和点到直线的距离、球面、柱面、回转面、常用二次曲面方程及其图形空间曲线的参数方程和一般方程空间曲线在坐标平面上的投影曲线方程

考试要求

1.了解空间直角坐标系，理解向量的概念和表示。

2.掌握向量的运算（线性运算、量积、向量积、混合积），了解两个向量垂直或平行的条件。

3.了解单位向量、方向数和方向余弦、向量的坐标表达式，掌握利用坐标表达式进行向量运算的方法。

4.掌握平面方程和直线方程及其解。

5.能够求平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角，并利用平面与直线的关系（平行、垂直、相交等）解决相关问题。

6． 可以求出点到直线的距离以及点到平面的距离。

7.理解曲面方程和空间曲线方程的概念。

8. 理解常用二次曲面的方程和图形，能够解简单圆柱和回转曲面方程。

9.理解空间曲线的参数方程和一般方程。 理解空间曲线在坐标平面上的投影，并能求出投影曲线的方程。

5.多元函数的微分学

考试内容

多元函数的概念 二元函数的几何意义 二元函数的极限和连续性概念 有界闭域上多元连续函数的性质 多元函数的偏导数和全微分 全微分存在的充要条件

多元复合函数和隐函数的导数、二阶偏导数、方向导数和梯度、空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法平面、多元函数的二阶泰勒公式、极值??多元函数的条件极值和条件极值，多元函数的最大值、最小值及其简单应用

考试要求

1.理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。

2. 理解二元函数的极限和连续性的概念以及有界闭域上连续函数的性质。

3.理解多元函数的偏导数和全微分的概念，能够求全微分，理解全微分存在的充要条件，理解全微分形式的不变性。

4.理解方向导数和梯度的概念，掌握其计算方法。

5.掌握求多元复合函数一阶和二阶偏导数的方法。

6． 理解隐函数的存在定理，能够求多元隐函数的偏导数。

7. 理解空间曲线的切线、法线和曲面的切线、法线的概念，并能求出它们的方程。

8. 了解双变量函数的二阶泰勒公式。

9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，理解二元函数极值存在的充分条件函数，能够求二元函数的极值，能够利用拉格朗日乘子的方法求条件极值，求简单多元函数的最大值和最小值，解决一些简单的应用问题。

6.多元函数的积分

考试内容

二重积分和三重积分的概念、性质、计算和应用两类曲线积分的概念、性质和计算两类曲线积分之间的关??系格林公式平面曲线积分和路径无关条件二变量函数总计微分 函数的两类表面积分的概念和性质以及计算两类表面积分之间的关??系。 高斯（Gauss）公式和斯托克斯（）公式。 散度和旋度的概念以及计算曲线积分和曲面积分的应用。

考试要求

1.了解二重积分和三重积分的概念，了解二重积分的性质，了解二重积分的中值定理。

2.掌握二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法，能够计算三重积分（直角坐标、柱坐标、球坐标）。

3.了解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质以及两类曲线积分之间的关??系。

4.掌握两类曲线积分的计算方法。

5.掌握格林公式并能利用平面曲线积分的路径无关条件，并能求出二元函数全微分的原函数。

6． 理解两类曲面积分的概念和性质以及两类曲面积分之间的关??系，掌握两类曲面积分的计算方法，掌握利用高斯公式计算曲面积分的方法，能够使用斯托克斯公式计算曲线积分。

7. 理解散度和旋度的概念并能够计算它们。

8. 能够利用重积分、曲线积分和曲面积分求一些几何物理量（面积、体积、表面积、弧长、质量、质心、质心、转动惯量、重力、功和流量）等）的平面图形。

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考试要求

1.理解收敛、常数项级数发散、收敛级数和的概念，掌握级数的基本性质和收敛的必要条件。

2.掌握几何级数和p级数收敛和发散的条件。

3.掌握正项级数收敛的比较判别法和比率判别法，并能使用根值判别法。

4.掌握莱布尼茨交替级数判据。

5.理解任意项级数的绝对收敛和条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。

6． 理解函数项级数的收敛域以及和函数的概念。

7、理解幂级数收敛半径的概念，掌握求幂级数收敛半径、收敛区间和收敛域的方法。

8. 了解幂级数在收敛区间的基本性质（和函数的连续性、逐项求导、逐项积分），能够求出某些幂级数在收敛区间的和函数，并能够求出某些数值级数的总和。

9. 理解函数展开为泰勒级数的充要条件。

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6． 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法，并能求解一些二阶以上常系数齐次线性微分方程。

7. 能够求解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数及其和、积的常系数二阶非齐次线性微分方程。

8.能解欧拉方程。

9.能够运用微分方程解决一些简单的应用问题。

线性代数

1.行列式

考试内容

行列式的概念和基本性质行列式展开定理

考试要求

1.理解行列式的概念，掌握行列式的性质。

2.能应用行列式的性质和行列式的行（列）展开定理来计算行列式。

2. 矩阵

考试内容

矩阵的概念 矩阵的线性运算 方阵的乘法 方阵的幂 乘积 矩阵的行列式 矩阵的转置 逆矩阵的概念和性质 矩阵可逆的充要条件 伴随矩阵 矩阵的初等变换 初等矩阵 矩阵的秩等 价块矩阵及其运算

考试要求

1.了解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵及其性质。

2.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算规则，了解方阵幂行列式和方阵乘积的性质。

3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质和矩阵可逆的充要条件，理解伴随矩阵的概念，能够利用伴随矩阵求逆矩阵。

4.理解矩阵初等变换的概念，理解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握利用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法一个矩阵。

5. 了解分块矩阵及其运算。

3.矢量

考试内容

向量的概念 向量的线性组合和线性表示 向量组的线性相关性和线性独立性 向量组的最大线性无关群 等效向量组 向量组的秩 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系 向量空间及其相关概念 n 维向量空间的基变换和坐标变换 转移矩阵向量的内积 线性无关向量组的正交归一化方法 归一化正交基 正交矩阵及其性质

考试要求

1. 理解n维向量、向量的线性组合和线性表示的概念。

2.理解向量组线性相关性和线性独立性的概念，掌握向量组线性相关性和线性独立性的相关性质和判别方法。

3. 理解向量组的最大线性无关群和向量组的秩的概念，并能够求出向量组的最大线性无关群和向量组的秩。

4.理解向量组等价的概念以及矩阵的秩与其行（列）向量组的秩的关系。

5. 理解n维向量空间、子空间、基、维度、坐标等概念。

6． 理解基变换和坐标变换公式，并能求出转移矩阵。

7、理解内积的概念，掌握线性无关向量组正交归一化的()方法。

8. 了解规范正交基、正交矩阵的概念及其性质。

4. 线性方程组

考试内容

线性方程组的 () 规则 齐次线性方程组有非零解的充要条件 非齐次线性方程组有解的充要条件线性方程解的结构齐次线性方程组的基础解方程组和通解解空间中非齐次线性方程组的通解

考试要求

1. 可以使用克莱默法则。

2.了解齐次线性方程组有非零解的充要条件和非齐次线性方程组有解的充要条件。

3.理解齐次线性方程组的基本解系、通解和解空间的概念，掌握齐次线性方程组的基本解系和通解方法。

4. 理解非齐次线性方程解的结构和通解的概念。

5.掌握利用初等行变换求解线性方程组的方法。

5.矩阵的特征值和特征向量

考试内容

矩阵的特征值和特征向量的概念方阵的行列式，相似性质变换，相似矩阵的概念和性质，矩阵相似对角化和相似对角矩阵的充要条件，实对称矩阵的特征值和特征向量，以及他们相似的对角矩阵

考试要求

1.了解矩阵的特征值和特征向量的概念和性质，能够求矩阵的特征值和特征向量。

2.了解相似矩阵的概念和性质以及矩阵相似对角化的充要条件，掌握矩阵转化为相似对角矩阵的方法。

3.掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质。

6.二次型

考试内容

二次型及其矩阵表示 契约变换和契约矩阵 二次型的秩惯性定理 二次型的标准形式和规范形式 使用正交变换和组合方法将二次型转化为标准型 二次型的正定型及其矩阵性别

考试要求

1.掌握二次形式及其矩阵表示，理解二次形式的秩概念，理解契约变换和契约矩阵的概念，理解二次形式的标准形式和规范形式的概念以及惯性定理。

2.掌握利用正交变换将二次形式转化为标准形式的方法，并能利用匹配法将二次形式转化为标准形式。

3.理解正定二次型和正定矩阵的概念，掌握其判别方法。

概率论与数理统计

1. 随机事件和概率

考试内容

随机事件与样本空间事件之间的关系以及完整事件群概率的概念。 概率的基本性质。 经典概率。 几何概率。 条件概率的基本公式。 事件的独立性。 独立重复测试。

考试要求

1.理解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系和运算。

2.理解概率和条件概率的概念，掌握概率的基本性质，能够计算经典概率和几何概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式。

3.理解事件独立性的概念，掌握利用事件独立性进行概率计算； 理解独立重复实验的概念，掌握计算相关事件概率的方法。

2. 随机变量及其分布

考试内容

随机变量 随机变量分布函数的概念和性质 离散随机变量的概率分布 连续随机变量的概率密度 常见随机变量的分布 随机变量函数的分布

考试要求

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3.多维随机变量及其分布

考试内容

多维随机变量及其分布 二维离散随机变量的概率分布、边际分布和条件分布 二维连续随机变量的概率密度、边际概率密度和条件密度 随机变量的独立性和非相关性 常用二维随机变量 变量分布 两个或多个随机变量的简单函数分布

考试要求

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4. 随机变量的数值特征

考试内容

随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差及其性质 随机变量函数的数学期望矩、协方差、相关系数及其性质

考试要求

1.了解随机变量数值特征的概念（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数），能够运用数值特征的基本性质，掌握常用分布的数值特征。

2. 能够求出随机变量函数的数学期望。

5. 大数定律和中心极限定理

考试内容

切比雪夫（）不等式 切比雪夫大数定律 伯努利（）大数定律 欣钦（）大数定律 德莫弗-拉普拉斯（De-）定理 利维-林德伯格（Levy-）定理

考试要求

1. 理解切比雪夫不等式。

2.了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量序列的大数定律）。

3.理解De -定理（二项式分布以正态分布为极限分布）和Levy-定理（独立同分布随机变量序列的中心极限定理）。

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7. 参数估计

考试内容

点估计的概念 估计量和估计值 矩估计法 最大似然估计法 估计器的选择标准 区间估计的概念 单个正态总体均值和方差的区间估计 两个正态总体均值差和方差比的区间估计

考试要求

1. 了解参数点估计、估计量和估计值的概念。

2.掌握矩估计方法（一阶矩、二阶矩）和最大似然估计方法。

3.理解估计量的无偏性、有效性（最小方差）和一致性（一致性）的概念，并能够验证估计量的无偏性。

4.理解区间估计的概念，能够求出单个正态总体均值和方差的置信区间，能够求出两个正态总体均值差和方差比的置信区间。

8. 假设检验

考试内容

显着性检验 假设检验中的两种错误 单个和两个正态总体的均值和方差的假设检验

考试要求

1.了解显着性检验的基本思想，掌握假设检验的基本步骤，了解假设检验中可能出现的两类错误。

2.掌握单个和两个正态总体的均值和方差的假设检验。